文科数学答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答案	A	B	D	C	C	A	A	B	D	C

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 

题号	11	12	13	14	15
答案					①③④

⒖【答案】①③④.

【解析】函数具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量，总存在，使得.对于①，，满足条件，故①正确；对于②，，对任意，不存在，使得成立，故②错误；对于③，当时，，而时，，则解得（舍去）或，则，故③正确；对于④，不符合定义，故④正确；对于⑤，同④，其导函数为奇函数，故⑤不正确.

 

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.

⒗（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

，……………………………………………………………………4分

故当，即时，；    ……………………………………6分

（Ⅱ）由，知.

由，得，此时，则.………………………8分

而由，得，则，故，……………………10分

从而，，因此.  ………………………12分

⒘（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设的公差为，由题意，，即………………………2分

于是

因为，且，所以. …………………………………………………4分

故.       ……………………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，……………………………………………………………6分

又数列是以为首项，为公比的等比数列，则，  ………7分

所以，即.     ………………………………………………………8分

因此①

则② ……………………………………………10分

由①-②得

因此.   ……………………………………………………………………12分

 

⒙（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可知，，，………………………2分

， …………………………………………………3分

平均分约为．……………………5分

（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为，分数在[90，100)有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形：，

，共有21个等可能基本事件；……………………………………………………………………………………9分

其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a，F)，

(a，G)，(b，F)，(b，G)，(c，F)，(c，G)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，共10个，……11分

所以抽取的2名同学来自不同组的概率.……………………………………………………12分

 

⒚（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：连结交于，连结．                

是正方形，∴ 是的中点． 

是的中点，∴是△的中位线．

∴．                   2分

又∵平面，平面，     

∴平面．            4分 

（Ⅱ）证明：由条件有

∴ 平面，∴ …………………………6分

又∵ 是的中点，∴   

∴平面  ∴        …………………………………………………8分

由已知，∴平面.     …………………………………………………9分

 

解：（Ⅲ）平面，几何体为四棱锥.由（Ⅱ）知为点到平面的距离.                         ……………………………………………………10分

因为，则，， .

因为平面，则，故，，因此，……………………………………………………12分

则.              ……………………………………………………13分

 

⒛（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意，得，          …………………………………………………1分

所以函数在处的切线斜率，  …………………………………………………2分

又，所以函数在处的切线方程，  ………………………4分

将点代入，得.                  …………………………………………………6分

（Ⅱ）当时，函数的定义域为，.因为，所以.

①当时，，函数在上单调递增，从而，无最大值；                                      …………………………………………………9分

②当时，由，解得，

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以函数在上有最小值为，无最大值. …………………………12分

综上知：当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值；

        当时，函数在上单调递减，在上单调递增，有最小值为，无最大值.                …………………………………………………13分   

 

21. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）抛物线的准线为，则，即.……………………………………2分

又点在椭圆上，则，解得，  ……………………………………4分

故求椭圆的方程为.………………………………………………………………………5分

（Ⅱ）设、.

依题意可知切线的斜率存在，设为，则：，并代入到中，整理得：

………………………………………………………………………8分

因此，即.……………………………………………9分

从而，，则；…………………………10分

又，则，.…………………11分

由于，故，即.………………13分

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