20、解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点，由右焦点到直线的距离为，

解得；又由椭圆的离心率为，，解得，

所以椭圆的方程为   4分

 (Ⅱ) ①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，

联立方程组，解得，

故.  8分

②猜测的关系是：；证明如下：

设直线的方程为

联立  消去得

设、,则. 

又  11分

故.

又, 

所以上式分子

， 

故.  13分

 

21、解：(Ⅰ)由题意知函数的定义域为，．

1分

由，解得，所以函数的单调增区间是；

由，解得，所以函数的单调减区间是； …………2分

所以，当时，函数有极小值为． …4分

 (Ⅱ)设，则函数的定义域为．

所以，． 5分

由解得，由可知，当时，，函数单调

递增；当时，，函数单调递减.

所以，函数的最大值为． 7分

要使不等式恒成立，只需的最大值不大于1即可，即，

也就是，解得，

又因为，所以，故的取值范围为． 8分

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知，当时，函数的单调递减；当时，函数

的单调递增； 9分

①若，即时，函数在上为增函数，故函数的最小值为

，故不满足条件； 10分

②若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，故函数的最小值为，解得，故不满足条件； 11分

③若，即时，函数在上为减函数，故函数的最小值为，解得，故不满足条件； 13分

综上所述，这样的不存在． 14分

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